The birthday paradox(dk)

Du har måske hørt nogle påstå at sandsynligheden for at der er to i en klasse, eller enhver anden forsamling af mennesker af samme størrelse(ca. 25 stk.), der har samme fødselsdag er stor - faktisk meget stor! Det må jo undersøges! Lad os betagte en samling af n individer(Det kan jo være vores klasse).
Hvert individ har fødselsdag, på én af følgende dage {1,...,365}.
Antag at alle dagene har lige stor sandsynlighed for at forekomme som fødselsdag.
På hvor mange måder kan vi vælge en fordeling af fødselsdage til de n individer?
Det kan vi gøre på 365^n forskellige måder, da hver fordeling udgør en ordnet fordeling med tilbagelæg, fra en population af størrelse 365.Lad A være mængden af udfald med ingen gentagelse af fødselsdage.
Dvs. A er en ordnet prøve uden tilbagelæg fra en population af størrelse 365. Der er 365*364*363*...*(365-n+1) udfald med denne egenskab.
Sandsynligheden for A, P(A), er nu givet ved:
P(A) = 365*364*363*...*(365-n+1)/(365^n).A komlement er så mængden af udfald med gentagelse af fødselsdage.
Sandsynligheden for A komlement er 1-P(A).Følgende tabel beskriver sandsynligheden for A og A komplement for et udvalg af værdier af n.





























































































































































































































































nA [%]A komplement [%]
11000
299.730.27
399.180.82
498.361.64
597.292.71
695.954.05
794.385.62
892.577.43
990.549.46
1088.3111.69
1185.8914.11
1283.316.7
1380.5619.44
1477.6922.31
1574.7125.29
1671.6428.36
1768.531.5
1865.3134.69
1962.0937.91
2058.8641.14
2155.6344.37
2252.4347.57
2349.2750.73
2446.1753.83
2543.1356.87
2640.1859.82
2737.3162.69
2834.5565.45
2931.968.1
3029.3770.63
3126.9573.05
3224.6775.33
3322.577.5
3420.4779.53
3518.5681.44
3616.7883.22
3715.1384.87
3813.5986.41
3912.1887.82
4010.8889.12
419.6890.32
428.691.4
437.6192.39
446.7193.29
455.994.1
465.1794.83
474.5295.48
483.9496.06
493.4296.58


Som vi kan se er der i en klasse med 23 elever over 50% sandsynlighed for at to har samme fødselsdag!
Og er man 40 personer sammen er sandsynligheden for at to af de tilstedeværende har samme fødselsdag knap 90%.
Meget tankevækkende! - men dog sandt!

Ingen kommentarer:

Send en kommentar